Question

已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点P（x，y）满足：PA与PB的斜率之积为3．设动点P的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）记点F（﹣2，0），曲线E上的任意一点C（x₁，y₁）满足：x₁＜﹣1，x₁≠﹣2且y₁＞0，设∠CFB=α，∠CBF=β．
①求证：tanα=tan2β；
②设过点C的直线与轨迹E相交于另一点D（x₂，y₂）（x₂＜﹣1，y₂＜0），若
∠FCB与∠FDB互补，求实数b的值．

Answer 1

解：（1）∵点A（﹣1，0），B（1，0），动点P（x，y），
∴ ， ，
∵PA与PB的斜率之积为3，
∴ ，x≠±1，
∴ ．
（2）①∵∠CFB=α，∠CBF=β，β为锐角，
∵tanα= ，tanβ= ， ，
∴tan2β= = = =tanα．
②由题意C（x₁，y₁），y₁＞0，D（x₂，y₂），y₂＜0，
联立 ，得2y²+6by﹣9b²+9=0，
则△=36b²﹣4×2（﹣9b²+9）＞0，
∴ ， y₁+y₂=﹣3b， ，
∴b²＞1．故y₂﹣y₁=﹣3b， ，
∴b²＞1，故 ，
设∠DFB=γ，∠DBF=θ，
∵ ，tan ， ，
∴tan2θ= = =﹣ =tanγ，
∵2θ∈（0，π），γ∈（0，π），
∴γ=2θ，即∠DFB=2∠DBF，
∵α，2β∈（0，π），
∴由（2）①得α=2β，即∠CFB=2∠CBF，
又∠DFB=2∠DBF，
∴∠FCB与∠FDB互补，即∠FCB+∠FDB=π，
∴2π﹣3∠CBF﹣3∠DBF=π，则 ，
由到角公式，得 = ， ∴ = ，
即 ，
∴4b+4=﹣ ，解得b=﹣ ，满足b²＞1，
∴b=﹣ ．