Question

如图，长方体AC₁中，AB=2，BC=AA₁=1，E、F、G分别为棱DD₁、D₁C₁、BC的中点，
（1）试在棱A₁D₁上找一点H，使EH∥平面FGB₁；
（2）求四面体EFGB₁的体积．

Answer 1

【答案】分析：（1）取A₁D₁的中点P，D₁P的中点H，连接DP、EH，通过EH∥平面FGB₁，说明EH∥B₁G，得到HD₁=A₁D₁．
（2）以D为原点，直线DA、DC、DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用法向量，求出E到平面FGB₁的距离d，底面，然后求四面体EFGB₁的体积．
解答：解：（1）取A₁D₁的中点P，D₁P的中点H，连接DP、EH，则DP∥B₁G，EH∥DP
∴EH∥B₁G，又B₁G?平面FGB₁，∴EH∥平面FGB₁．
即H在A₁D₁上，且HD₁=A₁D₁，使EH∥平面FGB₁                              （6分）
（2）以D为原点，直线DA、DC、DD₁为x、y、z轴建立空间直角坐标系
则E（0，0，），F（0，1，1），B₁（1，2，1），G（，2，0），
∴，，，
设平面FGB₁的法向量
由得，∴x=-2，y=2，
∵E到平面FGB₁的距离d==
，，，
∵=，
∴sin∠FB₁G=．
∴．
         （12分）
点评：本题是中档题，考查直线与平面的位置关系，探究点的位置，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力．