Question

已知抛物线G的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，点P(m，4)到其准线的距离等于5，
(Ⅰ)求抛物线G的方程；
( Ⅱ)如图，过抛物线G的焦点的直线依次与抛物线G及圆x²+(y-1)²=1交于A，C，D，B四点，试证明|AC|·
|BD|为定值；
(Ⅲ)过A，B分别作抛物线G的切线l₁，l₂，且l₁，l₂交于点M，试求△ACM与△BDM面积之和的最小值．

Answer 1

解：(Ⅰ)由题知，抛物线的准线方程为y+l=0，=1，
所以抛物线G的方程为x²=4y。
(Ⅱ)设直线AB方程y=kx+1交抛物线C于点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
由抛物线定义知|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+l， 
所以，|AC|=y₁，|BD|=y₂，
由，得，
显然△＞0，则，
所以，，所以|AC|·|BD|为定值1。
(Ⅲ)由得，
直线AM的方程为，①
直线BM的方程为，②
由②-①，得，
所以，∴y=-1，
所以点M的坐标为（2k，-1），
点M到直线AB的距离，
弦AB长为，
△ACM与△BDM面积之和
，
当k=0时，AB方程为y=1时，△ACM与△BDM面积之和最小值为2。