题目内容

已知椭圆C： $数学公式$ （a＞b＞0）的离心率为 $数学公式$ ，且短轴的一个端点到左焦点F的距离是 $数学公式$ ，经过点F且不垂直于x轴的直线l交椭圆C于A，B两点．点O为坐标原点．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）在线段OF上存在点M（m，0）（点M不与点O，F重合），使得以MA，MB为邻边的平行四边形MANB是菱形，求m的取值范围．

解：（Ⅰ）因为短轴的一个端点到左焦点点F的距离是 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，
所以a= $\text{[math]}$ ，c=1
所以b²=a²-c²=1
所以椭圆C的标准方程是 $\text{[math]}$ …（4分）
（Ⅱ）因为直线l与x轴不垂直，且交椭圆C于A，B两点，所以设直线l的方程为y=k（x+1）（k≠0）
代入椭圆方程，消去y可得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$
因为以MA，MB为邻边的平行四边形MANB是菱形，所以 $\text{[math]}$ ．
所以（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）•（x₂-x₁，y₂-y₁）=0
因为x₁≠x₂，
所以（x₁+x₂-2m）+k²（x₂+x₁+2）=0．
所以（ $\text{[math]}$ -2m）+k²（ $\text{[math]}$ +2）=0．
所以 $\text{[math]}$ ．
因为k≠0，所以 $\text{[math]}$ ．
所以m的取值范围是 $\text{[math]}$ ．…（14分）
分析：（Ⅰ）利用短轴的一个端点到左焦点点F的距离是 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，可求椭圆几何量，从而可得椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x+1）（k≠0）代入椭圆方程，消去y可得一元二次方程，利用以MA，MB为邻边的平行四边形MANB是菱形，可得 $\text{[math]}$ ，从而可得 $\text{[math]}$ ，由此可得m的取值范围．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，正确运用韦达定理是关键．

练习册系列答案

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（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），离心率为

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知一直线l过椭圆C的右焦点F₂，交椭圆于点A、B．
（ⅰ）若满足

（O为坐标原点），求△AOB的面积；
（ⅱ）当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在一点P，使得直线PA、PB的倾斜角互为补角？若存在，求出P坐标；若不存在，请说明理由．

（13分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁（﹣1，0），F₂（1，0），且椭圆C经过点．

（I）求椭圆C的离心率：

（II）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程．

（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的一个顶点为A（2,0），离心率为，直线y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点M、N.

①求椭圆C的方程.

②当⊿AMN的面积为时，求k的值.

已知椭圆C：+=1(a＞b＞0)，直线y=x+与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，F₁，F₂为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F₁PF₂的重心为G，内心为I，且IG∥F₁F₂。⑴求椭圆C的方程。⑵若直线L：y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同两点A，B且线段AB的垂直平分线过定点C(，0)求实数k的取值范围。

已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与椭圆C相交于A、B两点，若。则（）

（A）1 （B）2 （C）（D）

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