Question

【题目】如图， 为圆的直径，点， 在圆上， ，矩形和圆所在的平面互相垂直，已知， ．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）当的长为何值时，二面角的大小为．

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析：（1）先根据面面垂直性质定理得平面，即得，再根据圆性质得，根据线面垂直判定定理得平面，，最后根据面面垂直判定定理得结论（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组求各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据向量夹角与二面角关系建立方程，求出的长

试题解析：（Ⅰ）∵平面平面，

平面平面，∴平面，

∵平面，∴，

又∵为圆的直径，∴，∴平面，

∵平面，∴平面平面

（Ⅱ）

设中点为，以为坐标原点， 方向分别为轴、轴、轴方向建立空间直角坐标系（如图）．设，则点的坐标为，则，又，∴，

设平面的法向量为，则，即，

令，解得．

∴．

由（1）可知平面，取平面的一个法向量为，

∴，即，解得，

因此，当的长为时，平面与平面所成的锐二面角的大小为60°。