Question

20.(甲)如图，以正四棱锥V-ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，其中Ox∥BC，

Oy∥AB.E为VC中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h.

(Ⅰ)求cos＜＞；

(Ⅱ)记面BCV为，面DCV为，若∠BED是二面角-VC-的平面角，求∠BED.

Answer 1

20.(甲)本小题主要考查空间直角坐标的概念，空间点和向量的坐标表示以及两个向量夹角的计算方法；考查运用向量研究空间图形的数学思想方法.

解：(Ⅰ)由题意知B(a,a,0),C(－a,a,0),D(－a,－a,0),E(－,,).

由此得　＝(－，－，)，＝(，，).

∴·＝(－·)＋(－·)＋·＝－＋.

||=||==.      

由向量的数量积公式有

cos＜，＞=

             　　=

             　　=.                      

(Ⅱ)若∠BED是二面角-VC-的平面角，则⊥，即有·＝0.

又由C(－a,a,0),V(0,0,h), 有＝(a,－a,h),且=(－,－,),

∴·＝－＋＋＝0.

即h=,这时有 cos＜，＞＝=＝－.

∴∠BED＝＜，＞＝arccos(－)=－arccos.