Question

设抛物线过定点A(2,0)，且以直线x=-2为准线.

(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程；

(2)已知点B(0，-5)，轨迹C上是否存在满足·=0的M、N两点？证明你的结论.

Answer 1

解：(1)设抛物线顶点为P(x,y),则抛物线的焦点F(2x+2,y),

     由抛物线定义可得=4,

    ∴+=1.

    ∴轨迹C的方程为+=1(x≠-2).

    (2)不存在.

    设过点B(0，-5)，斜率为k的直线方程为y=kx-5(斜率不存在时，显然不符合题意),

    由∴(4+k²)x²-10kx+9=0.

    由Δ≥0,得k²≥.

    假设在轨迹C上存在两点M、N，令MB、NB的斜率分别为k₁、k₂,则|k₁|≥,|k₂|≥.

    显然不可能满足k₁·k₂=-1,

    ∴轨迹C上不存在满足·=0的两点.