题目内容

甲、乙两间商店购进同一种商品的价格均为每件30元，销售价均为每件50元．根据前5年的有关资料统计，甲商店这种商品的年需求量ξ服从以下分布：
ξ 10 20 30 40 50
P 0.15 0.20 0.25 0.30 0.10
乙商店这种商品的年需求量η服从二项分布η～B（40，0.8）．
若这种商品在一年内没有售完，则甲商店在一年后以每件25元的价格处理；乙商店一年后剩下的这种商品第1件按25元的价格处理，第2件按24元的价格处理，第3件按23元的价格处理，依此类推．今年甲、乙两间商店同时购进这种商品40件，根据前5年的销售情况，请你预测哪间商店的期望利润较大？

解：根据题意，甲商店这种商品的年需求量数学期望为：
Eξ=10×0.15+20×0.20+30×0.25+40×0.30+50×0.10=30…（4分）
∴甲商店的期望利润为30×（50-30）-（40-30）×（30-25）=550（元） …（6分）
乙商店这种商品的需求量的数学期望为：Eη=40×0.8=32…（8分）
依题意，一年后乙商店剩下的商品亏本金额是以30-25=5为首项，公差为1，项数为40-32=8的等差数列
∴乙商店剩下的商品亏本金额为8×5+ $\text{[math]}$ ×1=68（元） …（12分）
∴乙商店的期望利润为32×（50-30）-68=572（元）＞550（元）…（13分）
答：乙商店的期望利润较大．…（14分）
分析：根据数学期望公式求得甲商店这种商品的年需求量数学期望为：Eξ=30，从而求得甲商店的期望利润；由于乙商店这种商品的年需求量η服从二项分布η～B（40，0.8），故可求乙商店这种商品的需求量的数学期望，进一步可得乙商店的期望利润，通过比较，可知乙商店的期望利润较大．
点评：本题主要考查数学期望公式，进而计算期望利润，属于基础题．