Question

如图所示，等腰△ABC的底边AB=6

6

，高CD=3，点E是线段BD上异于点B，D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AC，记BE=x，V（x）表示四棱锥P-ACFE的体积．
（1）求V（x）的表达式；
（2）当x为何值时，V（x）取得最大值？
（3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先求底面面积，再求出高，即可求V（x）的表达式；
（2）利用导数，来求V（x）的最大值，
（3）过F作MF∥AC交AD于M，得到异面直线所成的角，然后求异面直线AC与PF所成角的余弦值．

解答：解：（1）由折起的过程可知，PE⊥平面ABC，
S△ABC=9

6

，S△BEF=

x2

54

•S△BDC=

6

12

x2
V（x）=

6

3

x(9-

1

12

x2)（0＜x＜3

6

）

（2）V′(x)=

6

3

(9-

1

4

x2)，所以x∈（0，6）时，v'（x）＞0，V（x）单调递增；
6＜x＜3

6

时v'（x）＜0，V（x）单调递减；
因此x=6时，V（x）取得最大值12

6

；
（3）过F作MF∥AC交AD与M，
则

BM

AB

=

BF

BC

=

BE

BD

=

BE

1 2 AB

，MB=2BE=12，
PM=6

2

，MF=BF=PF=

6

3 6

BC=

6

3

54+9

=

42

，
在△PFM中，cos∠PFM=

84-72

84

=

1

7

，
∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为

1

7

．

点评：本题考查几何体的体积，导数的应用，异面直线所成的角，考查空间想象能力、逻辑思维能力，是中档题．