Question

如图所示，等腰△ABC的底边AB=6

6

，高CD=3，点E是线段BD上异于点B、D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，V（x）表示四棱柱P-ACFE的体积．
（1）求证：面PEF⊥面ACFE；
（2）求V（x）的表达式，并求当x为何值时V（x）取得最大值？

Answer 1

分析：（1）要证面PEF⊥面ACFE，只需证明面PEF内的直线PE，垂直平面ACEF内的两条相交直线AE、EF即可；
（2）利用V（x）=V_P-ACB-V_P-BEF求V（x）的表达式，求导数求其极值点，确定x的值，求出V（x）的最大值．

解答：证明：（1）由折起的过程可知，PE⊥EF．又PE⊥AE，AE∩EF=E，
∴PE⊥面ACFE．又PE?面PEF，
∴面PEF⊥面ACFE．
解：（2）由（1）知PE⊥面ACFE，则PE即为四棱锥P-ACFE的高．
而S_△ABC=9

6

，S_△BEF=

1

2

x•

x

6

=

x2

2 6

，
∴V（x）=V_P-ACB-V_P-BEF
=

1

3

（

1

2

×6

6

×3-

x2

2 6

）x
=

6

3

x•（9-

x2

12

），（0＜x＜3

6

）．
∴V′（x）=

6

3

×（9-

x2

4

），所以当0＜x＜6时，V′（x）＞0，V（x）单调递增；
当6＜x＜3

6

时，V′（x）＜0，V（x）单调递减．因此当x=6时，V（x）取得最大值12

6

．

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，利用导数求函数在闭区间上的最大值问题，考查学生逻辑思维能力，空间想象能力，计算能力，是中档题．