Question

数列{a_n}满足a_n=3a_n-1+3ⁿ-1 （n≥2），且a₃=95．
（1）求a₁，a₂；
（2）是否存在一个实数t，使得（n∈Z⁺），{b_n}为等差数列．有，则求出t，并予以证明；没有，则说明理由；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a_n=3a_n-1+3ⁿ-1 （n≥2），且a₃=95．先由95=3a₂+3³-1，求出a₂=23．再由23=3a₁+3²-1，求出a₁=5．
（2）为等差数列，必须，，成等差数列，得． 由此能够证明当时，{b_n}是公差为1的等差数列．
（3），． 由．由此能求出．
解答：解：（1）∵a_n=3a_n-1+3ⁿ-1 （n≥2），且a₃=95．
∴95=3a₂+3³-1，
解得a₂=23．
23=3a₁+3²-1，
解得a₁=5．
∴a₁=5，a₂=23． （2分）
（2）为等差数列，必须，，成等差数列，
得． （5分），
即，当n=1，2，3成等差．
下证此时b_n对一切n∈Z⁺定成等差数列．
∴当时，{b_n}是公差为1的等差数列． （8分）
（3），
∴． （10分）
由（12分）
 记
得：
错位相减，得． （16分）
点评：本题考查数列的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的灵活运用．