Question

【题目】设，函数，.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）求函数的极值；

（3）若函数在区间上有唯一零点，试求的值.

Answer 1

【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）有极大值，无极小值；（3）.

【解析】

（1）求出，解得或，则可探究当时，当时， 的变化，从而求出单调区间；

（2）求出，令，结合导数探究 在 的单调性，结合，可探究出随的变化情况，从而可求极值；

（3）令，可得在只有一个解，借助第二问可知，从而可求出的值.

解：（1）当时，.易知的定义域为，

令，解得或，

当时，，则 递减；当时，，则 递增，

因此，的减区间为，增区间为.

（2）的定义域为，则，令，

则，故在单调递减，又知，

当时，，即；当时，，即

因此在单调递增，在单调递减.

即当 时， 有极大值，无极小值.

（3）令，整理得：在只有一个解，

即的图像与的图像在只有一个交点，由（2）知，

在单调递增，在单调递减，且有极大值，

所以，，解得.