题目内容

已知椭圆 $数学公式$ （a＞b＞0）经过点M（1， $数学公式$ ），且其右焦点与抛物线 $数学公式$ 的焦点F重合．
①求椭圆C₁的方程；
②直线l经过点F与椭圆C₁相交于A、B两点，与抛物线C₂相交于C、D两点．求 $数学公式$ 的最大值．

解：如图，
①解法1：由抛物线方程为y²=4x，得其焦点F（1，0），
∵椭圆右焦点与抛物线焦点重合，∴c=1．
故a²-b²=c²=1 ①
又椭圆C₁经过点 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ②
由①②消去a²并整理，得，4b⁴-9b²-9=0，解得：b²=3，或 $\text{[math]}$ （舍去），
从而a²=b²+1=4．故椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ．
解法2：由抛物线方程，得焦点F（1，0），
∴c=1．
∴椭圆C₁的左右焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0）．
∵椭圆 $\text{[math]}$ （a＞b＞0）经过点M（1， $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ =4．
∴a=2，则a²=4，b²=a²-c²=4-1=3．
故椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ．
②当直线l垂直于x轴时，
则A（1， $\text{[math]}$ ），B（1， $\text{[math]}$ ），C（1，2），D（1，-2）．∴ $\text{[math]}$ ．
当直线l与x轴不垂直，设其斜率为k（k≠0），则直线l的方程为：y=k（x-1）．
联立 $\text{[math]}$ ，得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
△=（-8k²）²-4×（3+4k²）×（-12）=64k⁴+192k²+144＞0．
∴方程有两个不等的实数根．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
所以， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
由 $\text{[math]}$ ，得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
△=[-（2k²+4）]²-4k⁴=16k²+16＞0，∴方程有两个不等的实数根．设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
∵k≠0，∴ $\text{[math]}$ ，
由抛物线的定义，得 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
综上，当直线l垂直于x轴时， $\text{[math]}$ 取得最大值 $\text{[math]}$ ．
分析：①首先求出抛物线的焦点坐标，则c可求，结合椭圆的隐含条件及点M（1， $\text{[math]}$ ）在椭圆上，进一步列式可求椭圆方程；
②分直线l的斜率存在和不存在两种情况分析，当斜率不存在时，可以直接求出A，B，C，D四点的坐标，则 $\text{[math]}$ 的值可求，当斜率存在时，设出直线方程，和椭圆方程及抛物线方程联立后，运用弦长公式把 $\text{[math]}$ 用直线的斜率表示，然后利用基本不等式求其最值．
点评：本题考查了椭圆标准方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，考查了数形结合的解题思想及分类讨论思想，考查了弦长公式，解答此类问题的关键是，常常采用设而不求的方法，即设出直线与圆锥曲线交点的坐标，解答时不求坐标，而是运用根与系数关系求出两个点的横坐标的和与积，然后结合已知条件整体代入求解问题，此题是难题．