Question

已知函数f（x）=log₂．
（Ⅰ）写出函数的定义域；函数的奇偶性
（Ⅱ）根据函数单调性的定义，证明函数f（x）是增函数．

Answer 1

解：（Ⅰ）要使f（x）有意义，即＞0，∴f（x）的定义域为（-1，1）．
（Ⅱ）由于 f（x）的定义域为（-1，1），且f（-x）===-=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
（Ⅲ）任取-1＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=-=．

由题设可得 0＜＜1，∴＜0，故有f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），

故函数f（x）是增函数．
分析：（Ⅰ）要使f（x）有意义，即＞0，求得x的范围，可得f（x）的定义域．
（Ⅱ）由于 f（x）的定义域为（-1，1），且f（-x）=-f（x），可得f（x）为奇函数．
（Ⅲ）任取-1＜x₁＜x₂，求得f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），可得函数f（x）是增函数．
点评：本题主要考查对数函数的图象和性质，函数的奇偶性、单调性的判断和证明，属于中档题．