Question

如图，圆O的直径AC=8cm，直线l与圆相切于点A，P为圆的右半圆弧上的动点，PB⊥直线l于B，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析：以直线l所在的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，可得圆的方程为 x²+（y-4）²=16，（0＜y＜8）．设△PAB面积为S，则
S²=

1

4

x²•y²=2y³-

1

4

y⁴．利用导数求得S²的最大值，从而求得S的最大值．

解答：解：以直线l所在的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则圆心O为（0，4），且半径为4，
圆的方程为 x²+（y-4）²=16，（0＜y＜8）．
故△PAB面积为S=

1

2

•AB•BP=

1

2

xy，∴S²=

1

4

x²•y²=

1

4

[16-（y-4）²]y²=2y³-

1

4

y⁴．
由于函数S²的导数为 （S²）′=6y²-y³，令 （S²）′=6y²-y³=0，可得y=6，
故当y=6时，S²取得最大值为108，故S的最大值为6

3

 （平方厘米）．

点评：本题主要考查求圆的标准方程，利用导数求函数的最值，属于中档题．