题目内容

已知数列{a_n}的首项 $数学公式$ ， $数学公式$ ．
（1）求证：数列 $数学公式$ 为等比数列；
（2）记 $数学公式$ ，若S_n＜100，求最大的正整数n．
（3）是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列且a_m-1，a_s-1，a_n-1成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，（2分）
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，（3分）
∴ $\text{[math]}$ ，
∴数列 $\text{[math]}$ 为等比数列．（4分）
（2）由（1）可求得 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．（5分） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，（7分）
若S_n＜100，则 $\text{[math]}$ ，∴n_max=99．（9分）
（3）假设存在，则m+n=2s，（a_m-1）•（a_n-1）=（a_s-1）²，（10分）
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．（12分）
化简得：3^m+3ⁿ=2•3^s，（13分）
∵ $\text{[math]}$ ，当且仅当m=n时等号成立．（15分）
又m，n，s互不相等，∴不存在．（16分）
分析：（1）根据a_n+1和a_n关系式进行化简，
（2）先由（1）得出数列{ $\text{[math]}$ }的通项公式，然后根据分组方法求出S_n，解不等式S_n＜100即可；
（3）假设存在正整数m，s，n，根据等比数列性质得出（a_m-1）•（a_n-1）=（a_s-1）²并化简，再根据a+b≥2 $\text{[math]}$ ，确定是否存在．
点评：本题考查了等比数列的性质、前n项和的求法以及不等式的解法，综合性很强，本题要注意a+b≥2 $\text{[math]}$ 运用，本题有一定难度．