Question

一个多面体的直观图及三视图如图所示，M、N分别为A₁B、B₁C₁的中点。

   （1）求证：MN//平面ACC₁A₁；

   （2）求证：MN⊥平面A₁BC。

Answer 1

解：由题意，这个几何体是直三棱柱，且AC⊥BC，AC=BC=CC₁。

（1）连接AC₁、AB₁，由直三棱柱的性质得AA₁⊥平面A₁B₁C₁，

∴AA₁⊥A₁B₁，则四边形ABB₁A₁为矩形。

由矩形性质得AB₁经过A₁B的中点M，

又∵N为B₁C₁的中点，

∴△AB₁C₁中，MN//AC₁。

又∵AC₁平面ACC₁A₁，MN平面ACC₁A₁。

∴MN//平面ACC₁A₁。

（2）∵直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，平面

ACC₁A₁⊥平面ABC，且AC⊥BC

∴BC⊥平面ACC₁A₁。

又∵AC₁­平面ACC₁A₁

∴BC⊥AC₁。

在正方形ACC₁A₁中，AC₁⊥A₁C。

由（1）知MN//AC₁。

∴MN⊥BC且MN//A₁C。

又∵BC∩A₁C=C。

∴MN⊥平面A₁BC。