题目内容

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，PD⊥底面ABCD，设PD= $数学公式$ ，M、N分别是PB、AB的中点．
（I）求异面直线MN与PD所成角的大小；
（II）求二面角P-DN-M的大小．

解：（I）∵四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，PD⊥底面ABCD，设PD= $\text{[math]}$ ，M、N分别是PB、AB的中点．
以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，
则M（2，2，2 $\text{[math]}$ ），N（4，2，0），P（0，0， $\text{[math]}$ ），D（0，0，0）
则 $\text{[math]}$ =（2，0，-2 $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ =（0，0，- $\text{[math]}$ ），
设异面直线MN与PD所成角为θ
则cosθ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴θ= $\text{[math]}$
（II）设 $\text{[math]}$ =（a，b，c）为平面PDN的一个法向量
则 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
令a=1，则 $\text{[math]}$ =（1，-2，0）平面PDN的一个法向量
设 $\text{[math]}$ =（x，y，z）为平面DMN的一个法向量
则 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
令z=1，则 $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ，-2 $\text{[math]}$ ，1）为平面DMN的一个法向量
设二面角P-DN-M的平面角为α
则cosα= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴二面角P-DN-M的大小为arccos $\text{[math]}$
分析：（I）以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出异面直线MN与PD的法向量，代入向量夹角公式，即可求出异面直线MN与PD所成角的大小；
（II）分别求出平面PDN的一个法向量和平面DMN的一个法向量，代入向量夹角公式，可以求出二面角P-DN-M的余弦值，进而得到二面角P-DN-M的大小．
点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，异面直线及其所成的角，解答此类问题的关键是，建立恰当的空间坐标系，求出对应直线的方向向量及平面的法向量，将空间异面直线的夹角问题及二面角问题转化为向量的夹角问题．