Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的图象在点处切线的方程；

（2）讨论函数的极值；

（3）若对任意的成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）

（2）当时，函数取得极小值，且的极小值为，不存在极大值

（3）

【解析】

(1)先求导函数,然后根据导数的几何意义求得切线的斜率为,再根据直线方程得点斜式求得函数的图象在点处切线的方程;

(2)先求得导函数的零点,再判断零点左右两侧导数的符号,根据导数符号可得极值点,从而可得极值.

(3) 将对任意的成立转化为对任意的成立,然后构造函数,求导后讨论得的单调性,根据单调性可得.

解：（1）因为，

所以，

所以.

又，

所以函数的图象在点处切线的方程为，即.

（2）因为，

所以.

令,得,

因为时,,时,,

所以函数在处取得极小值,极小值为.不存在极大值.

（3）据题意，得对任意的成立，

即对任意的成立.

令，

所以.

讨论：

当时，，此时在上单调递增.

又，所以当时，，

这与对任意的恒成立矛盾；

当时，二次方程的判别式.

若，解得，此时，在上单调递减.

又，

所以当时，，满足题设；

若，解得，此时关于的方程的两实数根是，，其中，.

又分析知，函数在区间上单调递增，，

所以当时，，不符合题设.

综上，所求实数的取值范围是.