Question

已知向量a=(2sinωx,cos²ωx),向量b=(cosωx,2),其中ω＞0,函数f(x)=a·b,若f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为π.

(1)求f(x)的解析式;

(2)若对任意实数x∈［,］,恒有|f(x)-m|＜2成立,求实数m的取值范围.

Answer 1

解:(1)f(x)=a·b=(2sinωx,cos²ωx)·(cosωx,2)=sin2ωx+3(1+cos2ωx)

=2sin(2ωx+)+.

∵相邻两对称轴的距离为π,∴=2π.∴ω=.

∴f(x)=2sin(x+)+.

(2)∵x∈［,］,∴x+∈［,］.

∴2≤f(x)≤2+.

又∵|f(x)-m|＜2,∴-2+m＜f(x)＜2+m.

若对任意x∈［,］,恒有|f(x)-m|＜2成立,则有解得≤m≤2+2.