Question

【题目】设函数.

（1）当时，求函数的极值；

（2）若关于的方程有唯一解，且，，求的值.

Answer 1

【答案】（1）极大值，无极小值.（2）

【解析】

（I）当时，求得函数的导数，令，求得，进而得到函数的单调性，求解函数的极值；

（II）由，令，由，得到在上单调递减，所以在上单调递减，进而判定存在使得，又由有唯一解，则必有，联立方程组，即可求解.

（I）的定义域为.

当时，，

则，

令，则.

即在上单调递减，又，

故时，，在上单调递增，

时，，在上单调递减.

所以函数有极大值，无极小值.

（II）由，令，

则，所以在上单调递减，

即在上单调递减.

又时，；时，，

故存在使得.

当时，，在上单调递减.

又有唯一解，则必有.

由消去得.

令，

则

.

故当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增.

由，，

得存在，使得即.

又关于的方程有唯一解，且，，

∴.

故.