Question

（2006•朝阳区一模）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的中心在坐标原点O，一条准线的方程是x=4，过椭圆的左焦点F，且方向向量为

a

=（1，1）的直线l交椭圆于A、B两点，AB的中点为M．
（Ⅰ）求直线OM的斜率（用a、b表示）；
（Ⅱ）直线AB与OM的夹角为α，当tanα=7时，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：（I）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），因为A、B在椭圆上将两式相减可得直线AB的斜率与直线OM的斜率的关系，从而求出所求；
（Ⅱ）由（I）以及tanα=7可求出a与b的关系，再根据椭圆中心在坐标原点O，一条准线的方程是x=4可求出a与c的等式，即可求出a，b，c从而求得椭圆的方程．

解答：解：（I）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），因为A、B在椭圆上
所以

x 2 1

a2

+

y 2 1

b2

=1，  

x 2 2

a2

+

y 2 2

b2

=1
两式相减，得：

y1-y2

x1-x2

•

y1+y2

x1+x2

=-

b2

a2

∵kAB=

y1-y2

x1-x2

=1，kOM=

y1+y2

x1+x2

∴kOM=-

b2

a2

…（6分）

（II）因为直线AB与OM的夹角为α，tanα=7
由（I）知kAB=1，kOM=-

b2

a2

∴tanα=

1+ b2 a2

1- b2 a2

=7①
又椭圆中心在坐标原点O，一条准线的方程是x=4∴

a2

c

=4②
在椭圆中，a²=b²+c²③
联立①②③，解得：

a2=4 b2=3

…（12分）
所以，椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1…（13分）

点评：本题主要考查了点差法求斜率，以及椭圆的标准方程，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．