Question

16．已知实数x，y满足关系式xy-x-y=1，求x²+y²的最小值．

Answer 1

分析 由xy-x-y=1可得xy=1+x+y，令x+y=t，则y=t-x，可得x²-tx+t+1=0，由△≥0可得t的范围，x²+y²=（t-1）²-3，由二次函数的知识可得．

解答 解：由xy-x-y=1可得xy=1+x+y，令x+y=t，则y=t-x，
代入上式可得x（t-x）=1+t，整理可得x²-tx+t+1=0，
由△=（-t）²-4（t+1）≥0可得t≥2+2$\sqrt{2}$或t≤2-2$\sqrt{2}$，
∴x²+y²=（x+y）²-2xy=（x+y）²-2（x+y）-2=t²-2t-2=（t-1）²-3
由二次函数的知识可知当t=2-2$\sqrt{2}$时，函数取最小值6-4$\sqrt{2}$

点评 本题考查距离公式，涉及换元法和一元二次方程根的存在性，属中档题．