Question

已知函数
（1）求函数f（x）的单调区间；    
（2）若关于x的不等式lnx>mx对一切x∈[2a，4a]都成立（其中a>0），求实数m的取值范围。

Answer 1

解：（1 ）当x>0时，；
当0<x<e时，f '（x）>0；
当e<x时，f '（x）<0，
所以f（x）在（0，e）上单调递增，在（e ，+ ∞）上单调递减。
又函数f（x）为奇函数，所以f（x）在（-e ，0）上单调递增，在（- ∞，-e ）上单调递减。
∴f（x）的单调增区间为（-e ，0）和（0，e）；单调减区间为（- ∞，-e ）和（e ，+ ∞）。
（2）不等式lnx>mx对一切x∈[2a，4a]都成立，即对一切x∈[2a，4a]都成立
由（1 ）知f（x）在（0，e）上单调递增，在（e ，+ ∞）上单调递减，
所以，当4a≤e，即0<a≤时，f（x）在[2a，4a] 上单调递增，
∴f（x）_min=f（2a）= ；
当2a≥e，即时，f（x）在[2a，4a] 上单调递减，
∴f（x）_min=f（4a）= ；
当2a<e<4a，即时，f（x）在[2a，e]上单调递增，在[e，4a]上单调递减，
∴f（x）_min=min{f（2a），f（4a）}
下面比较f（2a），f（4a）的大小：
∵f（2a）-f（4a）= ，
∴当时，f（x）_min=f（2a），
当时，f（x）_min=f（4a）
综上得：当0<a≤1时，f（x）_min=f（2a）= ；
当a>1时，f（x）_min=f（4a）= ．
故当0<a≤1时，；当a>1时，.