题目内容
已知函数f（x）=Asin（3x+φ） （ A＞0，x∈（-∞，+∞），0＜φ＜π ） 在x=
时取得最大值4．
（1）求函数f（x）的最小正周期及解析式；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）求函数f（x）在[0，
]上的值域．
| π |
| 12 |
（1）求函数f（x）的最小正周期及解析式；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）求函数f（x）在[0，
| π |
| 3 |
分析：（1）根据y=Asin（ωx+∅）的最小正周期的求法求得此函数的最小正周期．由函数的最大值求A，根据函数在x=
时取得最大值4，求得φ，从而得到函数的解析式．
（2）令2kπ-
≤3x+
≤2kπ+
，k∈z，求得x的范围，即可到函数f（x）的单调增区间．
（3）根据x∈[0，
]，结合正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在[0，
]上的值域．
| π |
| 12 |
（2）令2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
（3）根据x∈[0，
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
解答：解：（1）∵函数f（x）=Asin（3x+φ），故函数的最小正周期为T=
．
由函数的最大值为4可得A=4，
由函数在x=
时取得最大值4可得 4sin（3×
+φ）=4，故
+φ=2kπ+
，k∈z．
结合0＜φ＜π，可得 φ=
．
综上，函数f（x）=4sin（3x+
）．
（2）令2kπ-
≤3x+
≤2kπ+
，k∈z，求得≤
-
≤x≤
+
，
故函数f（x）的单调增区间为[
-
，
+
]，k∈z．
（3）∵x∈[0，
]，∴3x+
∈[
，
]，∴sin（3x+
）∈[-
，1]，
故4sin（3x+
）∈[-2
，4]．
故函数f（x）在[0，
]上的值域为[-2
，4]．
| 2π |
| 3 |
由函数的最大值为4可得A=4，
由函数在x=
| π |
| 12 |
| π |
| 12 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
结合0＜φ＜π，可得 φ=
| π |
| 4 |
综上，函数f（x）=4sin（3x+
| π |
| 4 |
（2）令2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 2kπ |
| 3 |
| π |
| 4 |
| 2kπ |
| 3 |
| π |
| 12 |
故函数f（x）的单调增区间为[
| 2kπ |
| 3 |
| π |
| 4 |
| 2kπ |
| 3 |
| π |
| 12 |
（3）∵x∈[0，
| π |
| 3 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 5π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
故4sin（3x+
| π |
| 4 |
| 2 |
故函数f（x）在[0，
| π |
| 3 |
| 2 |
点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+∅）的最小正周期、单调性、定义域和值域，属于中档题．
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