Question

（本小题满分12分）
如图所示，在正三棱柱中，底面边长为，侧棱长为，是棱的中点.
(Ⅰ)求证:平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求点到平面的距离.

Answer 1

解：(Ⅰ) 连结与交于，
则为的中点，为的中点，为的中位线，//. 又平面，平面//平面………………4分
（Ⅱ）(解法1)过作于，由正三棱柱的性质可知，
平面，连结，在正中，
在直角三角形中，
由三垂线定理的逆定理可得.则为二面角的平面角，
又得，
，
∴.故所求二面角的大小为.………………8分
解法（2）（向量法）

建立如图所示空间直角坐标系，则


。
设是平面的一个法向量，则可得
，所以即取
可得
又平面的一个法向量设则
又知二面角是锐角,所以二面角 的大小是……………………………………………………………………8分
（Ⅲ）设求点到平面的距离；因，所以，故，而………………10分
由……………12分

略