Question

函数f（x）的定义域为D，若满足：①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，（a＜b）使得f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称y=f（x）为闭函数． 若f(x)=k+

x

是闭函数，则实数k的取值范围是（　　）

• A、(-

  1

  4

  ，+∞)
• B、[-

  1

  2

  ，+∞)
• C、[-

  1

  2

  ，-

  1

  4

  )
• D、(-

  1

  4

  ，0]

Answer 1

分析：先判定函数的单调性，然后根据条件建立方程组，转化成使方程x²-x-k=0有两个相异的非负实根，最后建立关于k的不等式，解之即可．

解答：解：f(x)=k+

x

是单调增函数
∴

a +k=a b +k=b

即使方程x²-x-k=0有两个相异的非负实根
令f（x）=x²-x-k
∴

f(0)≥0 △=1+4k＞0

解得k∈(-

1

4

，0]
故选D

点评：本题主要考查了函数的定义域及其求法，以及函数的值域，是高考的热点，属于基础题．