Question

数列{a_n}中，相邻两项a_n，a_n+1是方程x²+3nx+b_n=0的两根，已知a₁₀=-17，则b₅₁的值等于（ ）
A．5800
B．5840
C．5860
D．6000

Answer 1

【答案】分析：由a_n，a_n+1是方程x²+3nx+b_n=0的两根，知a_n+a_n+1=-3n，a_n•a_n+1=b_n．所以a_n+2-a_n=（a_n+2+a_n+1）-（a_n+1+a_n）=-3（n+1）-（-3n）=-3，故a₁，a₃，…，a_2n+1和a₂，a₄，…，a_n都是公差为-3的等差数列，所以a₅₂=-80，a₅₁=-73，由此能求出b₅₁．
解答：解：∵a_n，a_n+1是方程x²+3nx+b_n=0的两根，
∴a_n+a_n+1=-3n，a_n•a_n+1=b_n．
∴a_n+2-a_n=（a_n+2+a_n+1）-（a_n+1+a_n）=-3（n+1）-（-3n）=-3
∴a₁，a₃，…，a_2n+1和a₂，a₄，…，a_n都是公差为-3的等差数列，
∴a₅₂=a₁₀+21（-3）=-80，
a₅₁=a₁₁+20（-3），
∵a₁₀+a₁₁=-30，
∴a₁₁=-13，
∴a₅₁=-73，
∴b₅₁=a₅₁•a₅₂=5840．
故选B．
点评：本题考查数列与函数的综合应用，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意韦达定理的灵活运用．