Question

已知抛物线y²=4x的焦点为F₂，点F₁与F₂关于坐标原点对称，直线m垂直于x轴（垂足为T），与抛物线交于不同的两点P、Q且．
（I）求点T的横坐标x；
（II）若以F₁，F₂为焦点的椭圆C过点．
①求椭圆C的标准方程；
②过点F₂作直线l与椭圆C交于A，B两点，设，若的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意得到F₁和F₂的坐标，设出P，Q的坐标，然后直接利用进行求解；
（Ⅱ）①设出椭圆标准方程，利用椭圆过点，结合a²=b²+1 即可求得a²，b²的值，则椭圆方程可求；
②当直线斜率不存在时，直接求解A，B的坐标得到的值，当直线斜率存在时，设出直线方程，和椭圆方程联立后，利用，消掉点的坐标得到λ与k的关系，根据λ的范围求k的范围，然后把转化为含有k的函数式，最后利用基本不等式求出的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）如图，

由题意得F₂（1，0），F₁（-1，0），设P（x，y），则Q（x，-y），
则，．
由，
得，即  ①
又P（x，y）在抛物线上，则  ②
联立①、②得，，解得：x=2．
所以点T的横坐标x=2．
（Ⅱ）（ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由题意得c=1，
设椭圆C的标准方程为，
因椭圆C过点，
则  ③
又a²=b²+1  ④
将④代入③，解得b²=1或（舍去）
所以a²=b²+1=2．
故椭圆C的标准方程为．
（ⅱ）1）当直线l的斜率不存在时，即λ=-1时，，，
又T（2，0），所以；
2）当直线l的斜率存在时，即λ∈[-2，-1）时，设直线l的方程为y=k（x-1）．
由，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），显然y₁≠0，y₂≠0，则由根与系数的关系，
可得：，．
  ⑤
  ⑥
因为，所以，且λ＜0．
将⑤式平方除以⑥式得：
由λ∈[-2，-1），得，即．
故，解得．
因为，所以，
又，
故
=．
令，因为，所以，即，
所以．
所以
综上所述：．
点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了平面向量数量积的运算，考查了分类讨论的数学解题思想，训练了利用基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，是难度较大的题目．