Question

设函数的定义域为（0，）.
(Ⅰ)求函数在上的最小值；
(Ⅱ)设函数，如果，且，证明：.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析.

试题分析：(Ⅰ) 利用导数分析单调性，进而求最值；(Ⅱ)分类讨论函数的单调性
试题解析：(Ⅰ)，则时，；时，。
所以，函数在（0，1）上是减函数，在（1，+）上是增函数.  2分
当时，函数在[m，m+1]上是增函数,
此时；
当时，函数在[m， 1]上是减函数,在[1，m+1]上是增函数，
此时；                                6分
(Ⅱ)证明：考察函数， 
所以g(x)在()内是增函数，在()内是减函数.（结论1）
考察函数F(x)=g(x)-g(2-x)，即
于是
当x>1时，2x-2>0,从而(x)>0,
从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。                                          
又F(1)=F(x)>F(1)=0,即g(x)>g(2-x). （结论2）  10分
若，由结论1及，得，与矛盾；
若，由结论1及，得，与矛盾；  12分
若不妨设
由结论2可知，g()>g(2-)，所以>g(2-)。
因为，所以，又由结论1可知函数g(x)在区间（-∞，1）内是增函数，
所以>,即>2.                 15分