Question

9．已知函数f（x）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$[1+sin（$\frac{3π}{2}$-2x）]+$\frac{1}{2}$cos（$\frac{3π}{2}$+2x），若f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{1}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，α∈（$\frac{π}{3}$，π），求sinα．

Answer 1

分析 由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，由f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{1}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求得sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{4}$，再根据sinα=sin[（α+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]，利用两角和差的正弦公式求得sinα．

解答 解：函数f（x）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$[1+sin（$\frac{3π}{2}$-2x）]+$\frac{1}{2}$cos（$\frac{3π}{2}$+2x）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1-cos2x）+$\frac{1}{2}$sin2x=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
若f（$\frac{α}{2}$）=sin（α+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{4}$，
又α∈（$\frac{π}{3}$，π），∴α+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{2π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），故cos（α+$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（α+\frac{π}{3}）}$=-$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
故sinα=sin[（α+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]=sin（α+$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$-cos（α+$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}$-（-$\frac{\sqrt{15}}{4}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1+3\sqrt{5}}{8}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式，属于基础题．