Question

将如图所示的三角形数阵中所有的数按从上至下、从左至右的顺序排列成数列a₁₁，a₂₁，a₂₂，a₃₁，a₃₂，…．若所得数列构成一个等差数列，且a₁₁=2，a₃₃=12，则

①数阵中的数a_ii可用i表示为　　；

②若a_mn+a_{（m+1）（n+1）}=a_{（m+2）（n+2）}，则m+n的值为　　．

Answer 1

考点：

等差数列的性质．

专题：

等差数列与等比数列．

分析：

①不妨设等差数列a₁₁，a₂₁，a₂₂，a₃₁，a₃₂，…为{b_n}，则由a₁₁=2，a₃₃=12可得b₁=2，公差d=2，故b_n=2n．而 a_ii可为等差数列{b_n}中的第1+2+3+…+i= 个，由此可得 a_ii 的值．

②先求出a_mn=m²﹣m+2n．再由已知的等式化简可得 m²﹣3m﹣4+2n=0，由于n＞0，可得m²﹣3m﹣4＜0，解得m的范围，结合 m≥n＞0，可得m和n的值，从而求得 m+n的值．

解答：

解：①不妨设等差数列a₁₁，a₂₁，a₂₂，a₃₁，a₃₂，…为{b_n}，则由a₁₁=2，a₃₃=12可得b₁=2，公差d=2．

故b_n=2n．

而 a_ii可为等差数列{b_n}中的第1+2+3+…+i= 个，∴a_ii =2×=i（i+1）=i²+i，

故答案为 i²+i．

②由题意可得，a_mn=b_{1+2+3+…+（m﹣1）+n}=2[1+2+3+…+（m﹣1）+n]=m²﹣m+2n．

∴a_{（m+1）（n+1）}=（m+1）²﹣（m+1）+2（n+1），a_{（m+2）（n+2）}=（m+2）²﹣（m+2）+2（n+2）．

再由 a_mn+a_{（m+1）（n+1）}=a_{（m+2）（n+2）}，

可得 m²﹣m+2n+（m+1）²﹣（m+1）+2（n+1）=（m+2）²﹣（m+2）+2（n+2），

化简可得 m²﹣3m﹣4+2n=0，由于n＞0，∴m²﹣3m﹣4＜0，解得﹣1＜m＜4，

∴m=1，2，3，再由 m≥n＞0，可得，∴m+n=5，

故答案为 5．

点评：

本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n项和公式的应用，一元二次不等式的解法，属于中档题．