Question

将如图所示的三角形数阵中所有的数按从上至下、从左至右的顺序排列成数列a₁₁，a₂₁，a₂₂，a₃₁，a₃₂，…．若所得数列构成一个等差数列，且a₁₁=2，a₃₃=12，则
①数阵中的数a_ii可用i表示为

i²+i

；
②若a_mn+a_{（m+1）（n+1）}=a_{（m+2）（n+2）}，则m+n的值为

5

．

Answer 1

分析：①不妨设等差数列a₁₁，a₂₁，a₂₂，a₃₁，a₃₂，…为{b_n}，则由a₁₁=2，a₃₃=12可得b₁=2，公差d=2，故b_n=2n．而 a_ii可为等差数列{b_n}中的第1+2+3+…+i=

i(i+1)

2

个，由此可得 a_ii 的值．
②先求出a_mn=m²-m+2n．再由已知的等式化简可得 m²-3m-4+2n=0，由于n＞0，可得m²-3m-4＜0，解得m的范围，结合 m≥n＞0，可得m和n的值，从而求得 m+n的值．

解答：解：①不妨设等差数列a₁₁，a₂₁，a₂₂，a₃₁，a₃₂，…为{b_n}，则由a₁₁=2，a₃₃=12可得b₁=2，公差d=2．
故b_n=2n．
而 a_ii可为等差数列{b_n}中的第1+2+3+…+i=

i(i+1)

2

 个，∴a_ii =2×

i(i+1)

2

=i（i+1）=i²+i，
故答案为 i²+i．
②由题意可得，a_mn=b_{1+2+3+…+（m-1）+n}=2[1+2+3+…+（m-1）+n]=m²-m+2n．
∴a_{（m+1）（n+1）}=（m+1）²-（m+1）+2（n+1），a_{（m+2）（n+2）}=（m+2）²-（m+2）+2（n+2）．
再由 a_mn+a_{（m+1）（n+1）}=a_{（m+2）（n+2）}，
可得 m²-m+2n+（m+1）²-（m+1）+2（n+1）=（m+2）²-（m+2）+2（n+2），
化简可得 m²-3m-4+2n=0，由于n＞0，∴m²-3m-4＜0，解得-1＜m＜4，
∴m=1，2，3，再由 m≥n＞0，可得

m=3 n=2

，∴m+n=5，
故答案为 5．

点评：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n项和公式的应用，一元二次不等式的解法，属于中档题．