Question

【题目】如图,在三棱柱中,四边形是矩形, ,平面平面.

(1)证明: ；

(2)若, ，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】分析：(1) 先证明四边形是平行四边形，再证明，从而可得四边形是菱形,进而可得；（2）以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,利用向量垂直数量积为零，列方程组求出平面的法向量，结合平面的法向量为，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.

详解：(1)证明: 在三棱柱中,，

.

又.

平面.

设与相交于点,与相交于点,连接，

四边形与均是平行四边形，

,平面，

，，

是平面与平面所成其中一个二面角的平面角.

又平面平面,

四边形是菱形,从而.

(2)解:由(1)及题设可知四边形是菱形, ，

.

以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,

,,，

，.

设平面的法向量，

即

令,可得.

又由(1)可知平面,

可取平面的法向量为，

。由图可知二面角的平面角为锐角,所以它的余弦值为.