Question

10．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且点$（-\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点，求△OAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的离心率公式求得a²=4b²，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理求得|x₁-x₂|，则△OAB的面积S=$\frac{1}{2}$|m||x₁-x₂|，利用基本不等式的性质，即可求得△OAB面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由已知得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，a²=4b²，
将$（-\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$代入椭圆方程：$\frac{3}{4{b}^{2}}+\frac{1}{4{b}^{2}}=1$，解得a²=4，b²=1，…（2分）
椭圆C的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；…（4分）
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
将y=kx+m代入椭圆C的方程，可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-16=0，
由△＞0，可得m²＜4+16k²，①
则有x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-16}{1+4{k}^{2}}$．…（6分）
∴|x₁-x₂|=$\frac{4\sqrt{16{k}^{2}+4-{m}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$．…（8分）
由直线y=kx+m与y轴交点的坐标为（0，m），
∴△OAB的面积S=$\frac{1}{2}$|m||x₁-x₂|
=$\frac{2丨m丨\sqrt{16{k}^{2}+4-{m}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{{m}^{2}（16{k}^{2}+4-{m}^{2}）}}{1+4{k}^{2}}$=$2\sqrt{\frac{{4{m^2}}}{{1+4{k^2}}}-\frac{m^4}{{（1+4{k^2}{）^2}}}}$…（10分）
设$\frac{m2}{1+4k2}$=t，由①可知0＜t＜4，
因此S=2$\sqrt{（4-t）t}$≤2$\sqrt{（\frac{4-t+t}{2}）^{2}}$=4，故S≤4，
当且仅当4-t=t，即t=2时取得最大值4．
∴△OAB面积的最大值为4．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，三角形的面积公式，基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．