Question

已知函数f(x)=

x+ 1 2 ，x∈[0， 1 2 ) 3x2，x∈[ 1 2 ，1]

，若存在x₁＜x₂，使得f（x₁）=f（x₂），则x₁•f（x₂）的取值范围为（　　）

• A．[

  3

  4

  ，1)
• B．[

  1

  8

  ，

  3

  6

  )
• C．[

  3

  16

  ，

  1

  2

  )
• D．[

  3

  8

  ， 3)

Answer 1

分析：根据函数的解析式画出函数的图象，根据题意数形结合求得x₁•f（x₂）的取值范围．

解答：解：①当 0≤x＜

1

2

时，

1

2

≤f（x）=x+

1

2

＜1．故当x=

1

4

时，f（x）=

3

4

．
②当

1

2

≤x≤1时，

3

4

≤f（x）=3x²≤3，故当x=

3

3

时，f（x）=1．
若存在x₁＜x₂，使得f（x₁）=f（x₂）=k，则

1

4

≤x₁ ＜

1

2

≤x₂ ＜1，
如图所示：
显然当k=f（x₁）=f（x₂）=

3

4

时，x₁•f（x₂）取得最小值，
此时，x₁=

1

4

，x₂=

1

2

，x₁•f（x₂）的最小值为

1

4

×

3

4

=

3

16

．
显然，当k=f（x₁）=f（x₂）趋于1时，x₁•f（x₂）趋于最大，
此时，x₁趋于

1

2

，x₂趋于

3

3

，x₁•f（x₂）趋于

1

2

×1=

1

2

．
故x₁•f（x₂）的取值范围为 [

3

16

，

1

2

)，
故选C．

点评：本题考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．