Question

已知点及圆：.

   （1）若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程；

   （2）设过点P的直线与圆交于、两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；

（3）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设直线的斜率为（存在）则方程为.

又圆C的圆心为，半径，

由  ，  解得.

所以直线方程为，  即 .

当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件.

（2）由于，而弦心距，

    所以.

所以为的中点.

故以为直径的圆的方程为.

（3）把直线即．代入圆的方程，

消去，整理得

．

由于直线交圆于两点，

故，

即，解得．

则实数的取值范围是．

设符合条件的实数存在，

由于垂直平分弦，故圆心必在上．

所以的斜率，而，

所以．由于，

故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦．