Question

已知a∈R，b∈R，f(x)为奇函数，且f(2x)=

(Ⅰ)求f(x)的反函数f^-1(x)及其定义域；

(Ⅱ)设g(x)=，若x∈[]，f^-1(x)≤g(x)恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

答案：解：(Ⅰ)由f(x)=，

得f(x)=．

∵f(x)是R上的奇函数，

∴f(0)==0，得a=1．

又f(-1)=f(1)  ∴b=1  ∴f(x)=，

得f^-1(x)=log₂.

由此得2^x=＞0，∴-1＜y＜1．

故反函数f^-1(x)的定义域为(-1，1)．

(Ⅱ)当x∈[]时，f^-1(x)≤g(x)恒成立，

∴log₂，即．

由＞0，x∈[]，

∴1+x＞0，1-x＞0，且k＞0，

∴k²≤1-x²，令h(x)=1-x²，

则h(x)_min=h．

∴k²≤，故0＜k≤．