Question

当n∈N^*时，，
（Ⅰ）求S₁，S₂，T₁，T₂；
（Ⅱ）猜想S_n与T_n的关系，并用数学归纳法证明．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知直接利用n=1，2，求出S₁，S₂，T₁，T₂的值；
（II）利用（1）的结果，直接猜想S_n=T_n，然后利用数学归纳法证明，①验证n=1时猜想成立；②假设n=k时，S_k=T_k，通过假设证明n=k+1时猜想也成立即可．
解答：解：（I）∵当n∈N^*时，，T_n=+++…+．
∴S₁=1-=，S₂=1-+-=，T₁==，T₂=+=（2分）
（II）猜想：S_n=T_n（n∈N*），即：
1-+-+…+-=+++…+
（n∈N*）（5分）
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，已证S₁=T₁（6分）
②假设n=k时，S_k=T_k（k≥1，k∈N*），
即：1-+-+…+-=+++…+（8分）
则：S_k+1=S_k+-=T_k+-（10分）
=+++…++-（11分）
=++…+++（-）
=++…++=T_k+1，
由①，②可知，对任意n∈N*，S_n=T_n都成立．（14分）
点评：本题是中档题，考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力．