{an}是由非负整数组成的数列.满足a1＝0.a2＝3.an+1an＝(an-1+2)(an-2+2).n＝3.4.5.-.求a3．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

{a_n}是由非负整数组成的数列，满足a₁＝0，a₂＝3，a_n+1a_n＝(a_n－1＋2)(a_n－2＋2)，n＝3，4，5，…，求a₃．

答案：
解析：

　　解：由已知a₄a₃＝(a₂＋2)(a₁＋2)＝5×2＝10×1，

　　∴a₃可能取值1，2，5，10．

　　若a₃＝1，a₄＝10，

　　从而a₅＝，

　　显然a₅不是非负整数，与题设矛盾．

　　若a₃＝10，则a₄＝1，

　　从而a₅＝60．

　　但再计算a₆＝，也与题设矛盾．

　　∴a₃＝2，a₄＝5．(或a₃＝5，a₄＝2a₅N^*，舍去)

　　点评：本例用归纳、猜想、证明的思想方法来解决．已给出a₁、a₂，但递推式是关于连续四项的一个等式，若无其他条件一般是不能确定数列的，因a_n∈N，我可用整数知识及反证法推理来确定a₃＝2，a₄＝5．

练习册系列答案

课标新卷系列答案

已知{a_n}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A_n，第n项之后各项，…的最小值记为B_n，d_n=A_n－B_n.

(I)若{a_n}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N^*，)，写出d₁，d₂，d₃，d₄的值；

(II)设d为非负整数，证明：d_n=－d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{a_n}为公差为d的等差数列；

(III)证明：若a₁=2，d_n=1(n=1,2,3…)，则{a_n}的项只能是1或2，且有无穷多项为1.

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