Question

【题目】如图所示，在多面体中，平面，，点在上，点是的中点，且，且.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取的中点为，连接、，根据等比三角形的性质可得，由线面垂直的性质定理可得，进而证出，利用线面垂直的判定定理可得平面，再由题意可得，，，可得，即得证.

（Ⅱ）以点为坐标原点，以以及的垂线，为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量以及平面的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求出二面角.

（Ⅰ）如图，取的中点为，连接、.

在中，因为，所以.

因为平面，平面，所以.

而，所以.

由于，所以平面.

点、是边、的中点，所以，.

又因为，，所以∥，

因此四边形是平行四边形，，故平面.

（Ⅱ）如图，以点为坐标原点，分别以以及的垂线，为轴，

建立空间直角坐标系.

则，，，，.

于是，.

设是平面的一个法向量，

则由，，得，

取.

同理可求出平面的一个法向量.

于是.

故二面角的余弦值是.