题目内容
【题目】如图，在三棱柱
中，
平面
，
，
.
（1）求证：
平面
；
（2）求异面直线
与
所成角的大小；
（3）点
在线段上，且
，点
在线段上，若
平面
，求
的值（用含
的代数式表示）.
【答案】（1）证明见解析（2）
（3）
【解析】
（1）根据三棱柱
的结构特征，利用线面垂直的判定定理，证得
平面
，得到
，再利用线面垂直的判定定理，即可证得
平面
；
（2）由（1）得到
，建立空间直角坐标系
，求得向量
，利用向量的夹角公式，即可求解.
（3）由
，得
，设
，得
，求得向量
的坐标，结合
平面
，利用
，即可求解.
（1）在三棱柱中，由
平面
，所以平面
，
又因为
平面，所以平面
平面，交线为
.
又因为，所以
，所以平面.
因为
平面，所以
又因为
，所以
，
又
，所以平面.
（2）由（1）知底面，，如图建立空间直角坐标系，
由题意得
，
，
，
.
所以
，
.
所以
.
故异面直线
与
所成角的大小为.
（3）易知平面的一个法向量
，
由，得.
设，得，则
因为平面，所以，
即
，解得
，所以
.
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