Question

已知向量

a

=（-2，sinθ），

b

=（cosθ，1），其中θ∈（-

π

2

，

π

2

）．
（1）若

a

⊥

b

，求θ的值；
（2）令

c

=

a

-

b

，求|

c

|的最大值．

Answer 1

分析：（1）由

a

⊥

b

，可得（-2，sinθ）•（cosθ，1）=0，化简可得tanθ=2，进而可求θ；
（2）写出向量

c

的坐标，可据此求模长，由三角函数的最值可求．

解答：解：（1）因为

a

=（-2，sinθ），

b

=（cosθ，1），

a

⊥

b

，
所以（-2，sinθ）•（cosθ，1）=0．（2分）
即-2cosθ+sinθ=0．
所以tanθ=2．（4分）
又因为θ∈（-

π

2

，

π

2

），所以θ=arctan2．（6分）
（2）因为

c

=

a

-

b

=（-2-cosθ，sinθ-1），
所以|

c

|=

(-2-cosθ)2+(sinθ-1)2

=

6-2sinθ+4cosθ

=

6-2 5 sin(θ-arctan2)

，（8分）
因为θ∈（-

π

2

，

π

2

），
所以θ-arctan2∈（-

π

2

-arctan2，

π

2

-arctan2）．（10分）
所以当θ=-

π

2

+arctan2时，|

c

|的最大值为

5

+1．（12分）

点评：本题为三角函数与向量的综合应用，把垂直问题转化为数量积为0，准确利用模长公式是解决问题的关键，属中档题．