Question

已知函数满足．

   （1）求的值；

   （2）若数列 ，求数列的通项公式；

   （3）若数列满足，是数列前项的和，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在指出的取值范围，并证明；若不存在说明理由．

Answer 1

解：（1）令，， ，           

令，                              

（2）∵  ①

∴  ②

由（Ⅰ），知

∴①+②，得                          

（3）∵ ，∴                            

∴，       ①

，      ②

①－②得                 

即                                               

要使得不等式恒成立，即对于一切的恒成立，

设

当时，由于对称轴直线，且 ，而函数在 是增函数，

∴不等式恒成立

即当实数大于时，不等式对于一切的恒成立。