Question

设函数．
（1）当a=0时，求f（x）的极值；
（2）设，在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（3）当a≠0时，求f（x）的单调区间．

Answer 1

解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
当a=0时，f（x）=2lnx+，
∴f'（x）=﹣=，
由f'（x）=0得x=，
于是，f（x），f'（x）随x变化如下表：

故，f（x）极小值=f（）=2﹣ln2，没有极大值．
（2）由题意，g（x）=（2﹣a）lnx+2ax，在[1，+∞）上单调递增，
∴g'（x）=+2a≥0在[1，+∞）上恒成立，设h（x）=2ax+2﹣a≥0在[1，+∞）上恒成立，
当a=0时，2≥0恒成立，符合题意．
当a＞0时，h（x）在[1，+∞）上单调递增，h（x）的最小值为h（1）=2a+2﹣a≥0，
得a≥﹣2，所以a＞0
当a＜0时，h（x）在[1，+∞）上单调递减，不合题意
所以a≥0
（3）由题意得，f'（x）=，
令f'（x）=0得x₁=﹣，x₂=，
若a＞0，由f'（x）≤0得x∈（0，]；
由f'（x）≥0得x∈[，+∞）；
若a＜0，①当a＜﹣2时，0＜﹣＜，x∈（0，﹣]或x∈[，+∞），f'（x）≤0；x∈[﹣，]，f'（x）≥0，
②当a=﹣2时，f'（x）≤0；
③当﹣2＜a＜0时，﹣＞，x∈（0，]或x∈[﹣，+∞），f'（x）≤0；x∈[，﹣]，f'（x）≥0．
综上，当a＞0时，函数的单调递减区间为（0，]，单调递增区间为[，+∞）；
当a＜﹣2时，函数的单调递减区间为（0，﹣]，[，+∞），单调递增区间为[﹣，]；
当a=﹣2时，函数的单调递减区间为（0，+∞）；
当﹣2＜a＜0时，函数的单调递减区间为（0，]，[﹣，+∞），单调递增区间为[，﹣]．