Question

【题目】如图，已知与分别是边长为1与2的正三角形， ，四边形为直角梯形，且， ，点为的重心， 为中点， 平面， 为线段上靠近点的三等分点.

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）若二面角的余弦值为，试求异面直线与所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.

【解析】试题分析：⑴连延长交于，推导出，又为中点，所以，又，所以，从而证明平面；

⑵为原点， 为轴， 为轴， 为轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值

解析：（Ⅰ）解：在中，连延长交于，因为点为的重心

所以，且为中点，又，

所以，所以；

又为中点，所以，又，

所以，所以四点共面

又平面， 平面

所以平面

（Ⅱ）由题意， 平面，所以，平面平面，且交线为，

因为，所以平面，

又四边形为直角梯形， ， ，所以，所以平面

因为， ，所以平面平面，

又与分别是边长为1与2的正三角形，

故以为原点， 为轴， 为轴， 为轴建立空间直角坐标系，

设，则， ， ， ， ， ，

因为

所以， ，

设平面的法向量，则，取，

平面的法向量，

所以二面角的余弦值 ，

，又，

直线与所成角的余弦值为.