Question

（本题满分14分）已知二次函数满足且．

（Ⅰ）求的解析式．

（Ⅱ）在区间上, 的图象恒在的图象上方，试确定实数的范围．

 

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=x2-x+1．（Ⅱ）m<-1

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由待定系数法可设f（x）=ax2+bx+c（）, 由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax2+bx+1．又因为f（x+1）-f（x）=2x,代入可得a（x+1）2+b（x+1）+1-（ax2+bx+1）=2x．即2ax+a+b=2x, 所以∴f（x）=x2-x+1．

（Ⅱ）由题意的图象恒在的图象上方即x2-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立，即x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立．令g（x）= x2-3x+1-m，其图象的对称轴为直线x=，所以g（x） 在[-1,1]上递减．

所以g（1）>0，即12-3×1+1-m>0,从而m<-1．

试题解析： （Ⅰ）设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax2+bx+1． 2分

∵f（x+1）-f（x）=2x,∴a（x+1）2+b（x+1）+1-（ax2+bx+1）=2x．

即2ax+a+b=2x, 4分

所以, 6分∴f（x）=x2-x+1． 7分

（Ⅱ）由题意得x2-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立．即x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立．

设g（x）= x2-3x+1-m,其图象的对称轴为直线x=, 9分

所以g（x） 在[-1,1]上递减．

故只需g（1）>0, 即12-3×1+1-m>0, 12分

解得m<-1． 14分

考点：待定系数法求函数解析式及二次函数性质的应用．