Question

设动点P（x，y）（x≥0）到定点F(

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，0)的距离比它到y轴的距离大

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，记点P的轨迹为曲线C，
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设圆M过A（1，0），且圆心M在P的轨迹上，EF是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时弦长|EF|是否为定值？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用两点间的距离公式根据P到F的距离比它到y轴的距离大

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，求出点P的轨迹方程即可；
（2）设圆心M（a，b），因为圆M过A（1，0），所以圆的半径为

(a-1)2+b2

，写出圆的方程，令x=0得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求出弦长为定值．

解答：解：（1）依题意，P到F(

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，0)距离比P到y轴的距离大

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，即

(x- 1 2 )2+y2

=x+

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，化简得：y²=2x，
所以曲线C是以原点为顶点，F(

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，0)为焦点的抛物线P=1曲线C方程是y²=2x；
（2）设圆心M（a，b），因为圆M过A（1，0），
故设圆的方程（x-a）²+（y-b）²=（a-1）²+b²令x=0得：y²-2by+2a-1=0，
设圆与y轴的两交点为（0，y₁），（0，y₂），
则y₁+y₂=2b，y₁•y₂=2a-1（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²-4y₁•y₂=（2b）²-4（2a-1）=4b²-8a+4，
M（a，b）在抛物线y²=2x上，b²=2a（y₁-y₂）²=4|y₁-y₂|=2，
所以，当M运动时，弦长|EF|为定值2．

点评：考查学生会根据已知条件得到动点的轨迹方程，综合运用直线与圆的方程，以及会根据根与系数的关系解决数学问题．