Question

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

x=cos2α y=1+2cosα.

(α为参数），点M的坐标为（-1，1）；若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
（Ⅰ）请将点M的直角坐标化为极坐标（限定ρ≥0，-π＜θ≤π）；
（Ⅱ）若点N是曲线C上的任一点，求线段MN的长度的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出ρ=

(-1)2+12

=

2

，根据点M在第二象限内，且tanθ=

1

-1

=-1，求出θ=

3π

4

，即可得到点M的极坐标．
（Ⅱ）根据两点间的距离公式并化简可得求出|MN|=

(cos2α+3)2-8

，故当cosα=0时，|MN|取最小值1；
当cosα=±1时，|MN|取最大值2

2

．

解答：解：（Ⅰ）ρ=

(-1)2+12

=

2

，又点M在第二象限内，且tanθ=

1

-1

=-1，∴θ=

3π

4

．
即点M的极坐标(

2

，

3π

4

)．
（Ⅱ）|MN|=

(x+1)2+(y-1)2

=

(cos2α+1)2+(1+2cosα-1)2

=

cos4α+6cos2α+1

=

(cos2α+3)2-8

，
故当cosα=0时，|MN|取最小值1；当cosα=±1时，|MN|取最大值2

2

．

点评：本题考查把直角坐标方程化为极坐标方程的方法，两点间的距离公式的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．