Question

对任意,给定区间,设函数表示实数与的给定区间内整数之差的绝对值.

YCY

  （1）当的解析式；当Z）时，写出用绝对值符号表示的的解析式，并说明理由；

  （2）判断函数R）的奇偶性,并证明你的结论；
（3）求方程的实根.(要求说明理由)

Answer 1

（1）
（2）证明见解析。
（3）若有且仅有一个实根，实根为1.

（Ⅰ）当时，由定义知：与0距离最近， 
当时，由定义知：最近的一个整数，故

（Ⅱ）对任何R，函数都存在，且存在Z，
满足Z）
即Z）.
由（Ⅰ）的结论，
即是偶函数.
（Ⅲ）（理科）解：
（1）当没有大于1的实根；
（2）容易验证为方程的实根；
（3）当
设
则
所以当为减函数，
所以方程没有的实根；
（4）当
设为减函数，，
所以方程没有的实根.
综上可知，若有且仅有一个实根，实根为1.